La fonction sigmoïde, un outil mathématique aux multiples usages

La fonction sigmoïde, souvent notée σ(x), est une fonction mathématique en forme de S, variant de 0 à 1, utilisée dans de nombreux domaines des mathématiques et de l'informatique. Elle peut s'écrire sous la forme :

σ(x) = 1/(1+e-x)

Cette fonction présente la particularité d'avoir une courbe en S, avec une partie croissante pour les x négatifs qui tend vers 0, et une partie décroissante pour les x positifs qui tend vers 1. Au milieu, autour de x=0, la pente de la courbe est la plus forte.

Applications en statistiques et épidémiologie

La fonction sigmoïde peut modéliser la probabilité qu'un évènement survienne en fonction d'un ou plusieurs paramètres. Par exemple, elle permet de modéliser la propagation d'une épidémie en fonction du taux de reproduction du virus et des mesures sanitaires.

Elle peut aussi servir en statistiques pour modéliser la probabilité qu'une personne achète un produit en fonction de caractéristiques comme l'âge, le revenu, etc. Les courbes sigmoïdes sont alors très utiles pour comprendre les facteurs déterminants et prédire les ventes.

Réseaux de neurones artificiels

Mais la principale application de la fonction sigmoïde se trouve dans les réseaux de neurones artificiels, notamment pour la couche de sortie qui doit renvoyer des probabilités comprises entre 0 et 1. La fonction sigmoïde est donc couramment utilisée comme fonction d'activation dans les neurones pour introduire de la non-linéarité et mieux approcher des fonctions complexes.

Sa dérivabilité est aussi un avantage pour l'apprentissage, permettant d'utiliser des méthodes d'optimisation par descente de gradient pour entraîner le réseau de neurones. Les réseaux de neurones à base de fonctions sigmoïdes sont utilisés en reconnaissance d'images, traitement du langage ou encore en robotique.

En résumé, la fonction sigmoïde est un outil mathématique très utile de par sa forme caractéristique en S et ses propriétés de dérivabilité. Ses applications sont vastes, allant de la modélisation épidémiologique et statistique à l'intelligence artificielle.